Tồn tại và duy nhất
- Giả nghịch đảo Moore–Penrose tồn tại và là duy nhất: với mỗi ma trận A {\displaystyle A\,\!} , có đúng một ma trận A + {\displaystyle A^{+}\,\!} thỏa mãn bốn tính chất của định nghĩa.[5]
Tính chất cơ bản
- Nếu A {\displaystyle A\,\!} là ma trận thực, thì A + {\displaystyle A^{+}\,\!} cũng là ma trận thực.
- Nếu A {\displaystyle A\,\!} khả nghịch, thì ma trận nghịch đảo và giả nghịch đảo là một: A + = A − 1 {\displaystyle A^{+}=A^{-1}\,\!} .[6]:243
- Giả nghịch đảo của ma trận không là chuyển vị của nó.
- Giả nghịch đảo của giả nghịch đảo chính là ma trận ban đầu: ( A + ) + = A {\displaystyle (A^{+})^{+}=A\,\!} .[6]:245
- Phép lấy giả nghịch đảo giao hoán với phép chuyển vị, và liên hợp:[6]:245
( A T ) + = ( A + ) T , A ¯ + = A + ¯ , ( A ∗ ) + = ( A + ) ∗ . {\displaystyle (A^{T})^{+}=(A^{+})^{T},~~{\overline {A}}^{+}={\overline {A^{+}}},~~(A^{*})^{+}=(A^{+})^{*}.\,\!}
- Giả nghịch đảo của tích của một đại lượng vô hướng với A là tích của nghịch đảo của đại lượng vô hướng đó với A+:
( α A ) + = α − 1 A + {\displaystyle (\alpha A)^{+}=\alpha ^{-1}A^{+}\,\!} với mọi α ≠ 0 {\displaystyle \alpha \neq 0} .
Hằng đẳng thức
A + = A + A + ∗ A ∗ A + = A ∗ A + ∗ A + A = A + ∗ A ∗ A A = A A ∗ A + ∗ A ∗ = A ∗ A A + A ∗ = A + A A ∗ {\displaystyle {\begin{array}{lclll}A^{+}&=&A^{+}&A^{+*}&A^{*}\\A^{+}&=&A^{*}&A^{+*}&A^{+}\\A&=&A^{+*}&A^{*}&A\\A&=&A&A^{*}&A^{+*}\\A^{*}&=&A^{*}&A&A^{+}\\A^{*}&=&A^{+}&A&A^{*}\\\end{array}}}
Quy về trường hợp ma trận Hermite
- A + = ( A ∗ A ) + A ∗ {\displaystyle A^{+}=(A^{*}A)^{+}A^{*}\,\!} .
- A + = A ∗ ( A A ∗ ) + {\displaystyle A^{+}=A^{*}(AA^{*})^{+}\,\!} .
Tích
Nếu A ∈ M ( m , n ; K ) , B ∈ M ( n , p ; K ) {\displaystyle A\in M(m,n;\mathbb {K} ),~B\in M(n,p;\mathbb {K} )\,\!} và một trong các điều kiện sau được thỏa mãn,
- A {\displaystyle A\,\!} có các cột trực chuẩn (nghĩa là A ∗ A = I n {\displaystyle A^{*}A=I_{n}\,} ) hoặc,
- B {\displaystyle B\,\!} có các hàng trực chuẩn (nghĩa là B B ∗ = I n {\displaystyle BB^{*}=I_{n}\,} ) hoặc,
- A {\displaystyle A\,\!} có các cột độc lập tuyến tính và B {\displaystyle B\,\!} có các hàng độc lập tuyến tính,
thì ( A B ) + = B + A + {\displaystyle (AB)^{+}=B^{+}A^{+}\,\!} .
Các phép chiếu
P = A A + {\displaystyle P=AA^{+}\,\!} và Q = A + A {\displaystyle Q=A^{+}A\,\!} là các phép chiếu vuông góc --- nghĩa là chúng đều là ma trận Hermite ( P = P ∗ {\displaystyle P=P^{*}\,\!} , Q = Q ∗ {\displaystyle Q=Q^{*}\,\!} ) và thỏa mãn P 2 = P {\displaystyle P^{2}=P\,\!} và Q 2 = Q {\displaystyle Q^{2}=Q\,\!} ). Chúng có các tính chất sau:
- P A = A = A Q {\displaystyle PA=A=AQ\,\!} and A + P = A + = Q A + {\displaystyle A^{+}P=A^{+}=QA^{+}\,\!}
- P {\displaystyle P\,\!} là phép chiếu vuông góc xuống không gian ảnh của A {\displaystyle A\,\!}
- Q {\displaystyle Q\,\!} là phép chiếu vuông góc xuống không gian ảnh của A ∗ {\displaystyle A^{*}\,\!}
- ( I − P ) {\displaystyle (I-P)\,\!} là phép chiếu vuông góc xuống không gian nhân của A ∗ {\displaystyle A^{*}\,\!} .
- ( I − Q ) {\displaystyle (I-Q)\,\!} là phép chiếu vuông góc xuống không gian nhân của A {\displaystyle A\,\!} .[5]
Không gian con
- Ker ( A + ) = Ker ( A ∗ ) {\displaystyle \operatorname {Ker} (A^{+})=\operatorname {Ker} (A^{*})\,\!}
- Im ( A + ) = Im ( A ∗ ) {\displaystyle \operatorname {Im} (A^{+})=\operatorname {Im} (A^{*})\,\!}
